Sur la L2−cohomologie des variétés à courbure négative

We give a topological interpretation of the space of L-harmonic forms of finite-volume manifolds with sufficiently pinched negative curvature. We give examples showing that this interpretation fails if the curvature is not sufficiently pinched and that our result is sharp with respect to the pinching constants. The method consists first in comparing L2−cohomology with weighted L2−cohomology thanks to previous works done by T. Ohsawa, and then in identifying these weighted spaces. Résumé Nous donnons une interprétation topologique des espaces de formes harmoniques L des variétés de volume fini, à courbure négative suffisamment pincée. Nous donnons des exemples montrant que cette interprétation n’est plus valable si la courbure n’est pas suffisamment pincée et que le résultat est optimal. La méthode utilisée consiste à comparer L2−cohomologie et L2−cohomologie à poids grâce à des travaux de T. Ohsawa, puis à identifier la L2−cohomologie à poids. Introduction Soit (Mn, g) une variété riemannienne complète. On note Hk(M) l’espace des k−formes harmoniques L2 de M , c’est-à-dire celles qui sont de carré intégrable, fermées et cofermées. Lorsque M est compacte, on sait, grâce au théorème de Hodge-de Rham, que cet espace est de dimension finie, et isomorphe au k−ème espace de cohomologie réelle de M . Quand M est non compacte, ce que nous supposerons toujours dans la suite, il est naturel de se demander ce qui subsiste de ce résultat : est-ce que l’espace Hk(M) est de dimension finie, et si oui peut-on en donner une interprétation topologique ? Par exemple, d’après J. Lott [L3], si M est une variété complète de volume fini, à courbure sectionnelle K négative et pincée (i.e. il existe des réels 0 < a ≤ b, avec −b2 ≤ K ≤ −a2), alors tous ses espaces de formes harmoniques sont de dimension finie. De plus, J. Lott a posé la question suivante (MSRI, printemps 2001) : Question. Soit (Mn, g) une variété riemannienne complète de dimension